§5.3 微积分基本公式

一、积分上限的函数及其导数

设函数在区间上连续，并设为上的一点，考察在部分区间上的积分

这一特殊形式的积分有两点应该注意：

其一、因在连续，该定积分存在。此时，变量“ 身兼两职 ”，既是积分变量，又是积分的上限。

为了明确起见，将积分变量改用其它符号如来表示，这是因为定积分与积分变量的选取无关。上面的定积分改写成下述形式

其二、若上限在上任意变动，则对应于每一个取定，该定积分有一个对应值。所以，它在上定义了一个新的函数， 记作

称为以积分上限为变量的函数( 简称变上限函数 )。

是否确有这类函数?

观察一个例子,正态曲线在上的变上限函数为

它表示一个曲边梯形的面积。运行程序gs0503.m，可分别作出，在上的图象

这表明，确实是一个新的函数。

【定理一】如果函数在区间上连续， 则变上限函数

在上具有导数，且它的导数是

证明：当上限获得增量时， 在处的函数值为

由此得函数的增量

据积分中值定理：

在与之间

即：

定理一表明：是的一个原函数。因此，我们便有下面原函数的存在性定理。

【定理二】如果函数在区间上连续， 则函数

就是在上的一个原函数。

定理二的重要意义在于：

其一、肯定了连续函数的原函数的存在性。

其二、揭示了定积分与原函数之间的联系。 使得定积分的计算有可能通过原函数来实现。

二、牛顿-莱布尼兹公式

【定理三】设在上连续， 是在上的任一原函数

则

证明：与均是在上的原函数

则 ( 为常数， )

令 ，

而

故

从而

即

若令， 得：

为了方便，今后记 或 。

最后，我们提醒一句，微积分基本公式时，一定要注意条件：

是在区间上的原函数。

【例1】计算 与

解：

注：当初阿基米德用穷竭法计算定积分，可是费了不少功夫，可如今变得简单多了，这得益于微积分基本公式。

【例2】设在内连续，且，证明函数

在内为单调增加函数。

证明：

由假设， 在 上 ， ， 故

， ，

从而， 在 上是单增的。

【例3】求极限

解：这是一个型的不定式，可用罗必达法则来计算，分子可写成

它是以为上限的函数， 作为的函数， 它可视作以为中间变量的复合函数， 故

注明：试图用牛顿 -- 莱布尼兹公式计算定积分的思路是不可取的。这是因为不具有有限形式的原函数。

公元前的古希腊数学家阿基米德最先具有定积分的初步思想方法，而明确提出定积分概念却是由牛顿(英1642 - 1727)与莱布尼兹(德1646-1716)共同完成的。 而当时的定积分理论基础尚不严谨， 甚至连个严格的定义都没有。直到(1826 - 1866)德国数学家黎曼给出了今天的定积分严格定义。

这一事实表明：一个科学概念从萌芽、诞生到成熟需要经历很长时间。 因此，列宁称“ 自然科学的生命是概念 ”再恰当不过了。

定积分的符号 是由莱布尼兹首先引用的。其含义是：定积分的实质是求积分和式的极限，英文中求和一词是Sum，将S拉长变成了。显然，符号从外形到含义均表达了“求和”的涵义，堪称“形意兼备”。莱布尼兹在微积分中引用的符号系统：

彼此之间有联系，又各自表达不同的意义，可以说十分先进。现代计算机数学软件所采用的符号系统便是莱布尼兹所定义的，由这一点可看出先进的符号体系是重要的。

我国古代数学尽管历史悠久，但发展缓慢，其中一个重要的原因是符号落后。象著名的“勾股定理”也仅被表述成：勾三股四弦五，即：

在计算机编程中，合理有效地使用符号与变量的名称更是一个不容忽视的大问题。